久期可以精确的计算出债券价格的变化「 学道分享 深度学习 解析折价债券的久期随时间变化的图形」

久期是债券研究的重中之重，本期就来看看折价债券的久期图形是如何推导而来的吧。

01 定义

折价债券

折价债券是指交易价格小于票面价值的债券。

久期

债券的久期描述的是债券价格变化对收益率(即利率)变化的敏感程度，麦考利久期是使用加权平均数的形式计算的债券的平均到期时间。

本次我们通过几种债券的对比来讨论折价债券的麦考利久期随到期日变化的问题。

02 计算

①

②

③

t为从上一付息日到交割日的天数，T为一个计息期的总天数，N为债券从上一计息日开始到到期日的总期数， PMT为每一期支付的利息，r为市场的折现率，或是到期收益率，FV即债券的未来价值，也就是票面价值，c为息票率。

因此，公式①中的分母即债券当期的full price（用PVFull表示），公式②里的中括号内代表各期现金流贴现到当期的现值占债券总价格的比值，即权重。 (1-t/T), (2-t/T)… (N-t/T)代表收到每期现金流需要的时间。 公式③用微积分和代数求得的久期公式,具体推导过程详见文末。

为了方便分析债券到期日对久期的影响，假定t/T=0，即只考虑每一个付息日的久期。则

④

03 零息、永续、溢价债券的久期一

注意：以下讨论的各类债券麦考利久期随到期时间的变化基于以下假设：1）t/T=0的前提下，不考虑应计利息的影响；2）债券是不含权的普通债券；3）债券持有到期。

零息债券

对于零息债券，则c=0,所以MacDur=N,所以麦考利久期等于债券的到期时间。如下图所示，是一条斜率为1的直线。如图1。

永续债券

对于一个不含权的永续债券，在不考虑提前赎回的前提下，则N趋于无穷大，所以MacDur=(1 r)/r。如下图1。

溢价债券

对于溢价债券，它的息票率c大于市场利率r，也即c＞r。因此根据公式④

因为

为正数，因此MacDur＜

，且溢价债券的麦考利久期小于零息债券，由此可知对于溢价债券，它的久期与到期日之间的关系曲线是一条位于永续债券和零息债券下方的曲线，如下图2。

04 折价债券的久期一

现在我们来看一下折价债券的久期。对于一个折价债券，它的息票率c小于市场利率r，也即c＜r。

折价债券的利息趋于无穷小

从定性角度考虑，我们先来考虑一种极端的情况，当这个折价债券的利息十分小，几乎接近于0，那么这个折价债券趋向于一个零息债券，也就是说，此时折价债券的是趋向于零息债券的一条曲线；但是另一方面，折价债券相对于零息债券从开始持有至到期仍需定期支付，因此在同样的一个到期日下，折价债券的麦考利久期小于零息债券。所以折价债券的曲线是在零息债券呈现的直线的下方。

折价债券的到期日趋于无穷大

考虑另一种极端情况，当折价债券的到期日（N）趋近于无穷大的时候，此时折价债券趋向于一个永续债券，也就是说，当N大到一定程度，折价债券是趋向于永续债券的一条近似直线；

利用公式④:

我们先来看一下

的大小。由于N不小于0，所以分母永远是正数；由于折价债券c＜r,因此分子上的中括号部分［N×(c－r)］为负数，因此当N达到某一程度时，分子1＋r＋［N×(c－r)］为负数，所以

为负数。由此可知当N达到某一程度时，

即折价债券的久期将位于永续债券的上方。

根据上述分析，可以知道折价债券久期与到期日之间的关系曲线是一条先上升后下降但最终仍位于永续债券直线的上方的一条曲线，具体形式如下图3。

折价债券与永续债券的交点

当

时，

此时折价债券与永续债券的久期相等。

即

。

(1)普通零息债券的麦考利久期等于债券持有到期日；

(2)永续债券的麦考利久期=(1 r)/r，是一条水平的直线；

(3)溢价债券的麦考利久期与到期日的关系：随着持有至到期日的增加，麦考利久期上升，最终趋向于永续债券的久期，位于其水平线的下方；

(4) 折价债券的的麦考利久期与到期日的关系：随着持有至到期日的增加，麦考利久期先上升后下降，最后趋向于永续债券的久期，位于其水平线的上方。

05 附页

关于公式③的推导如下：（为简化计算，在此假设：P=PVFull,FV=1,则PMT=c）

因此：